#N canvas 353 26 836 671 10;
#X obj 202 552 cnv 15 155 28 empty empty empty 20 12 0 14 -204786 -66577
0;
#X text 426 171 ============================================================
;
#X text 18 135 ============================================================
;
#X text 31 95 As propriedades especiais surgem ao multiplicar a unidade
imaginária "i" por ela mesma \, o que nos dá -1!;
#X text 21 156 Vejamos a multiplicação complexa:;
#X text 36 353 Já na outra metade da equação \, podemos colocar a unidade
imaginária "i" em evidência \, o que nos dá:;
#X text 36 411 Desse modo \, a primeira metade da equação é considerada
a parte real do resultdo \, enquanto a metade restante é a parte imaginária.
;
#X text 36 456 Consideremos agora dois números complexos definidos
como (Re1 + Im1) e (Re2 + Im2) \, onde "Re" é a parte Real e "Im" a
parte Imaginária (sendo que a unidade imaginária "i" é implícita).
;
#X text 203 554 (Re1 * Re2) - (Im1 * Im2);
#X obj 203 605 cnv 15 155 28 empty empty empty 20 12 0 14 -204786 -66577
0;
#X text 203 611 (Im1 * Re2) + (Re1 * Im2);
#X text 40 584 E uma parte imaginária igual a:;
#X text 16 637 ============================================================
;
#N canvas 293 22 861 708 Multiplicação-Complexa 0;
#X obj 144 434 expr (Re1 * Re2) - (Im1 * Im2) \; (Im1 * Re2) + (Re1
* Im2);
#X obj 144 396 bng 25 250 50 0 empty expr empty 17 7 0 10 -262130 -1
-1;
#X obj 314 86 v Re1;
#X obj 374 86 v Im1;
#X obj 472 85 v Re2;
#X obj 532 86 v Im2;
#X obj 127 237 *;
#X obj 127 264 -;
#X obj 168 236 *;
#X obj 277 235 *;
#X obj 251 235 *;
#X obj 314 56 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 \$0-Re1 Re1 Re1 0 -8 0 12 -262130
-1 -1 31 256;
#X obj 472 56 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 \$0-Re2 Re2 Re2 0 -8 0 12 -257985
-1 -1 45 256;
#X obj 374 56 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 \$0-Im1 Im1 Im1 0 -8 0 12 -204786
-1 -1 44 256;
#X obj 532 56 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 \$0-Im2 Im2 Im2 0 -8 0 12 -4034
-1 -1 33 256;
#X obj 89 165 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty \$0-Re1 Re1 0 -8 0 12
-262130 -1 -1 31 256;
#X obj 247 165 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty \$0-Re2 Re2 0 -8 0 12
-257985 -1 -1 45 256;
#X obj 149 165 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty \$0-Im1 Im1 0 -8 0 12
-204786 -1 -1 44 256;
#X obj 307 165 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty \$0-Im2 Im2 0 -8 0 12
-4034 -1 -1 33 256;
#X obj 127 300 nbx 9 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty empty Re -18 9 0 12
-245290 -1 -1 -57 256;
#X obj 679 313 cartopol;
#X floatatom 679 342 8 0 0 0 - - -;
#X floatatom 742 343 8 0 0 0 - - -;
#X obj 520 314 cartopol;
#X obj 603 451 poltocar;
#X floatatom 510 343 8 0 0 0 - - -;
#X floatatom 573 344 8 0 0 0 - - -;
#X obj 603 409 *;
#X obj 648 408 +;
#X text 505 419 Amplitudes;
#X obj 513 278 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty \$0-Re1 Re1 0 -8 0 12
-262130 -1 -1 31 256;
#X obj 672 278 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty \$0-Re2 Re2 0 -8 0 12
-257985 -1 -1 45 256;
#X obj 573 278 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty \$0-Im1 Im1 0 -8 0 12
-204786 -1 -1 44 256;
#X obj 732 278 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty \$0-Im2 Im2 0 -8 0 12
-4034 -1 -1 33 256;
#X obj 550 490 nbx 9 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty empty Re -18 9 0 12
-245290 -1 -1 -57.0001 256;
#X obj 686 489 nbx 9 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty empty Im -18 7 0 12
-171620 -1 -1 3003 256;
#X text 37 345 Re = (Re1 * Re2) - (Im1 * Im2);
#X text 274 346 Im = (Im1 * Re2) + (Re1 * Im2);
#X obj 260 266 +;
#X obj 260 299 nbx 9 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty empty Im -18 7 0 12
-171620 -1 -1 3003 256;
#X obj 144 475 nbx 9 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty empty Re -18 9 0 12
-245290 -1 -1 -57 256;
#X obj 327 471 nbx 9 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty empty Im -18 7 0 12
-171620 -1 -1 3003 256;
#X text 144 327 Parte Real;
#X text 267 327 Parte Imaginária;
#X text 175 399 calcular via [expr]:;
#X text 504 401 Multiplica;
#X text 692 405 Soma;
#X text 689 421 Fases;
#X text 21 123 Forma Cartesiana:;
#X text 456 154 Forma Polar:;
#X msg 541 617 \; Im2 33 \; Re2 45 \; Im1 44 \; Re1 31;
#X obj 265 86 s expr;
#X text 314 10 Insira valores da direita para a esquerda.;
#X text 480 185 Convertemos os números para a forma Polar \, multiplicamos
as amplitudes e somamos as fases. Depois convertemos novamente para
a forma cartesiana para demonstrar que o resultado é o mesmo:;
#X text 330 538 O cálculo na forma Cartesiana é um pouquinho mais acurado
\, pois a conversão na forma polar tem uma aproximação via o cálculo
da Arcotangente (que \, apesar de ser irrisório nos dias de hoje \,
também gasta mais processamento). Por exemplo \, veja como esses valores
abaixo dá uma pequena diferença \, clique na mensagem:;
#X connect 0 0 40 0;
#X connect 0 1 41 0;
#X connect 1 0 0 0;
#X connect 6 0 7 0;
#X connect 7 0 19 0;
#X connect 8 0 7 1;
#X connect 9 0 38 1;
#X connect 10 0 38 0;
#X connect 11 0 2 0;
#X connect 11 0 51 0;
#X connect 12 0 4 0;
#X connect 13 0 3 0;
#X connect 14 0 5 0;
#X connect 15 0 6 0;
#X connect 15 0 10 0;
#X connect 16 0 9 1;
#X connect 16 0 6 1;
#X connect 17 0 8 0;
#X connect 17 0 9 0;
#X connect 18 0 10 1;
#X connect 18 0 8 1;
#X connect 20 0 21 0;
#X connect 20 1 22 0;
#X connect 21 0 27 1;
#X connect 22 0 28 1;
#X connect 23 0 25 0;
#X connect 23 1 26 0;
#X connect 24 0 34 0;
#X connect 24 1 35 0;
#X connect 25 0 27 0;
#X connect 26 0 28 0;
#X connect 27 0 24 0;
#X connect 28 0 24 1;
#X connect 30 0 23 0;
#X connect 31 0 20 0;
#X connect 32 0 23 1;
#X connect 33 0 20 1;
#X connect 38 0 39 0;
#X restore 523 130 pd Multiplicação-Complexa;
#X text 441 201 Divisão complexa:;
#X obj 524 411 cnv 15 155 28 empty empty empty 20 12 0 14 -204786 -66577
0;
#X obj 523 464 cnv 15 155 28 empty empty empty 20 12 0 14 -204786 -66577
0;
#X text 472 443 E uma parte imaginária igual a:;
#X text 468 390 A parte real igual a \;;
#X text 525 413 (Re1 * Re2) + (Im1 * Im2);
#X text 523 470 (Im1 * Re2) - (Re1 * Im2);
#X text 454 341 O cálculo na forma cartesiana também é similar à multiplicação
\, apenas os sinais são invertidos.;
#X text 451 285 Veremos que \, de modo similar à Multiplicação Complexa
\, o resultado da Divisão Complexa equivale a uma divisão das amplitudes
e subtração das Fases!;
#X text 450 521 Mas há um passo seguinte \, em que precisamos normalizar
o resultado de ambas as partes por: (Re2 * Re2) + (Im2 * Im2). Veja
o subpatch abaixo para a implementação:;
#N canvas 235 22 942 704 Divisão-Complexa 0;
#X obj 660 144 cartopol;
#X obj 501 145 cartopol;
#X text 470 198 Amplitudes;
#X obj 494 109 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty \$0-Re1 Re1 0 -8 0 12
-262130 -1 -1 31 256;
#X obj 653 109 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty \$0-Re2 Re2 0 -8 0 12
-257985 -1 -1 45 256;
#X obj 554 109 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty \$0-Im1 Im1 0 -8 0 12
-204786 -1 -1 44 256;
#X obj 713 109 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty \$0-Im2 Im2 0 -8 0 12
-4034 -1 -1 33 256;
#X obj 548 193 /;
#X obj 623 193 -;
#X text 488 183 Divide;
#X obj 157 385 *;
#X obj 198 384 *;
#X obj 279 383 *;
#X obj 245 383 *;
#X obj 277 316 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty \$0-Re2 Re2 0 -8 0 12
-257985 -1 -1 45 256;
#X obj 337 316 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty \$0-Im2 Im2 0 -8 0 12
-4034 -1 -1 33 256;
#X obj 157 436 +;
#X obj 253 439 -;
#X obj 157 523 nbx 5 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty empty Re -18 9 0 12
-245290 -1 -1 0.914258 256;
#X obj 253 521 nbx 7 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty empty Im -18 7 0 12
-171620 -1 -1 0.307322 256;
#X obj 157 494 /;
#X obj 253 493 /;
#X obj 317 392 *;
#X obj 348 392 *;
#X obj 317 443 +;
#X obj 135 316 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty \$0-Re1 Re1 0 -8 0 12
-262130 -1 -1 31 256;
#X obj 195 316 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty \$0-Im1 Im1 0 -8 0 12
-204786 -1 -1 44 256;
#X obj 111 660 nbx 5 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty empty Re -18 9 0 12
-245290 -1 -1 0.914258 256;
#X obj 229 659 nbx 7 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty empty Im -18 7 0 12
-171620 -1 -1 0.307322 256;
#X obj 348 658 v norm;
#X obj 111 583 bng 22 250 50 0 empty expr empty 17 7 0 10 -262130 -1
-1;
#X obj 114 238 v Re1;
#X obj 276 200 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 \$0-Re2 empty Re2 0 -8 0 12
-257985 -1 -1 0 256;
#X obj 177 199 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 \$0-Im1 empty Im1 0 -8 0 12
-204786 -1 -1 0 256;
#X obj 336 200 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 \$0-Im2 empty Im2 0 -8 0 12
-4034 -1 -1 0 256;
#X obj 114 198 nbx 4 18 -1e+37 1e+37 0 0 \$0-Re1 empty Re1 0 -8 0 12
-262130 -1 -1 0 256;
#X obj 177 236 v Im1;
#X obj 276 236 v Re2;
#X obj 336 236 v Im2;
#X obj 251 412 swap;
#X obj 535 533 nbx 5 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty empty Re -18 9 0 12
-245290 -1 -1 2847 256;
#X obj 730 532 nbx 7 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty empty Im -18 7 0 12
-171620 -1 -1 957 256;
#X obj 535 455 bng 22 250 50 0 empty expr empty 17 7 0 10 -262130 -1
-1;
#X obj 578 273 poltocar;
#X obj 550 312 nbx 5 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty empty Re -18 9 0 12
-245290 -1 -1 0.914258 256;
#X obj 641 313 nbx 7 18 -1e+37 1e+37 0 0 empty empty Im -18 7 0 12
-171620 -1 -1 0.307322 256;
#X obj 623 237 nbx 5 16 -1e+37 1e+37 0 0 empty empty empty 0 -8 0 13
-204800 -1 -1 0.324277 256;
#X obj 684 618 nbx 5 16 -1e+37 1e+37 0 0 empty empty empty 0 -8 0 13
-204800 -1 -1 0.324277 256;
#X obj 548 237 nbx 5 16 -1e+37 1e+37 0 0 empty empty empty 0 -8 0 13
-261234 -1 -1 0.964528 256;
#X obj 610 618 nbx 5 16 -1e+37 1e+37 0 0 empty empty empty 0 -8 0 13
-259602 -1 -1 3003.54 256;
#X obj 535 484 expr ((Re1 * Re2) + (Im1 * Im2)) \; ((Im1 * Re2) - (Re1
* Im2));
#X obj 631 573 cartopol;
#X text 696 236 Fase;
#X text 516 233 Amp;
#X text 578 615 Amp;
#X text 655 191 Subtrai;
#X text 658 207 Fases;
#X obj 111 609 expr ((Re1 * Re2) + (Im1 * Im2)) / norm \; ((Im1 * Re2)
- (Re1 * Im2)) / norm \; (pow(Re2 \, 2) + pow(Im2 \, 2));
#X text 136 581 calcular via expr;
#X text 95 39 Re: (Re1 * Re2) + (Im1 * Im2) / normalização \; Im: (Im1
* Re2) - (Re1 * Im2) / normalização;
#X text 101 90 normalização = (Re2 * Re2) + (Im2 * Im2);
#X text 78 271 Forma Cartesiana:;
#X text 468 51 Forma Polar:;
#X obj 66 238 s expr;
#X text 697 638 igual;
#X text 755 616 Fase;
#X text 64 9 Divisão Complexa:;
#X text 115 154 insira valores da direita para a esquerda:;
#X text 482 379 O fator de normalização apenas redimensiona o valor
de amplitude. A informação de Fase permanece igual. Veja abaixo o cálculo
sem a normalização \, que dá uma amplitude diferente \, mas a mesma
fase.;
#X text 617 636 diferente;
#X connect 0 0 7 1;
#X connect 0 1 8 1;
#X connect 1 0 7 0;
#X connect 1 1 8 0;
#X connect 3 0 1 0;
#X connect 4 0 0 0;
#X connect 5 0 1 1;
#X connect 6 0 0 1;
#X connect 7 0 48 0;
#X connect 8 0 46 0;
#X connect 10 0 16 0;
#X connect 11 0 16 1;
#X connect 12 0 39 1;
#X connect 13 0 39 0;
#X connect 14 0 10 1;
#X connect 14 0 12 1;
#X connect 14 0 22 1;
#X connect 14 0 22 0;
#X connect 15 0 13 1;
#X connect 15 0 11 1;
#X connect 15 0 23 1;
#X connect 15 0 23 0;
#X connect 16 0 20 0;
#X connect 17 0 21 0;
#X connect 20 0 18 0;
#X connect 21 0 19 0;
#X connect 22 0 24 0;
#X connect 23 0 24 1;
#X connect 24 0 21 1;
#X connect 24 0 20 1;
#X connect 25 0 10 0;
#X connect 25 0 13 0;
#X connect 26 0 11 0;
#X connect 26 0 12 0;
#X connect 30 0 57 0;
#X connect 32 0 37 0;
#X connect 33 0 36 0;
#X connect 34 0 38 0;
#X connect 35 0 31 0;
#X connect 35 0 63 0;
#X connect 39 0 17 0;
#X connect 39 1 17 1;
#X connect 40 0 51 0;
#X connect 41 0 51 1;
#X connect 42 0 50 0;
#X connect 43 0 44 0;
#X connect 43 1 45 0;
#X connect 46 0 43 1;
#X connect 48 0 43 0;
#X connect 50 0 40 0;
#X connect 50 1 41 0;
#X connect 51 0 49 0;
#X connect 51 1 47 0;
#X connect 57 0 27 0;
#X connect 57 1 28 0;
#X connect 57 2 29 0;
#X restore 542 592 pd Divisão-Complexa;
#X text 22 1 ============================================================
;
#X text 428 626 ============================================================
;
#X text 425 0 ============================================================
;
#X text 242 385 [(b * c) + (a * d)]i;
#X text 30 26 A adoção de números complexos permite simplificar cálculos
que \, de outra maneira \, seriam realmente complicados. Veremos aqui
algumas propriedades que emergem do cálculo com números complexos em
multiplicação e divisão.;
#X text 36 514 Resumidamente \, podemos dizer que multiplicar os dois
números nos dá uma parte real igual a \;;
#X text 433 33 O subpatch abaixo implementa a multiplicação complexa
em objetos de matemática \, e demonstra qual é a relação com a operação
do número complexo na forma Polar (Amplitude e Fase). Veremos que o
resultado é igual a multiplicar as Amplitudes e somar as fases!;
#X text 451 230 Consideremos agora dois números complexos também definidos
como (Re1 + Im1) e (Re2 + Im2). Vamos então dividir o primeiro pelo
segundo.;
#X text 27 182 Temos dois números complexos (a + b.i) e (c + d.i) \,
sendo "a" e "c" as partes reais e "b" e "d" as imaginárias (multiplicadas
por "i").;
#X text 36 279 Agora \, na primeira metade da equação \, temos (a *
c) + (b.i * d.i). A multiplicação das partes imaginárias (b.i * d.i)
gera "-1" pela multiplicação das unidades imaginárias \, produzindo
um sinal negativo. O resultdo é (a * c) - (b * d). Note que a unidade
imaginária foi removida.;
#X text 40 230 - Começamos então com (a + b.i) * (c + d.i) \; - Depois
da propriedade distributiva \, temos \; (a * c) + (b.i * d.i) + (b.i
* c) + (a * d.i);
